题目:如图1,在凸四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD上存在一点P满足∠APB=2∠CPD,线段AP上两点X,Y满足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.
求证:BD=2XY
思考过程:X和Y都是后生成的点,位置比较刁钻,关于线段XY,可获取的信息太少.
因此考虑利用相似把XY转移出去.
∠ABC=∠ADC,显然ABCD四点共圆,AC为直径,画出外接圆与圆心.(如图2)
【资料图】
圆心出来了,连一下OX,OY.
观察猜想△OXY∽△CDB.
题目给的条件全都是角,显然证明相似的途径是倒角.
为了便于倒角,连接OD,OB.(如图3)
由于∠AYD=2∠ABD,∠AOD=2∠ABD,AYOD四点共圆.
那么有∠XYO=∠ODA=∠OAD=∠DBC.
同理,∠YXO=∠BDC.
那么相似就得到了证明.
BD/XY就可以转化为OY/DC.
那么接下来就要证明DC=2OX.
题目中还有关于点P的条件没有用到,那么考虑延长AP.
而O是AC中点,那么可以尝试构造中位线来获得1:2的关系.
因此,过C作OX平行线,交AP延长线于E.(如图4)
观察猜想△PCE≌△DPC.
∠E=∠AXO=∠BDC.
由∠APB=2∠DPC得∠EPC=∠CPD.
又有公共边PC,因此全等得证.
那么CE=CD.
而OX为中位线,CE=2OX.
所以CD=2OX.
这样题目就得到了证明.
下面给出证明过程.
证明:
∵∠ABC=∠ADC=90°
∴ABCD四点共圆,AC为外接圆直径.
取外接圆圆心O,连接OB,OD,OX,OY.
∠XYO=∠ODA=∠OAD=∠DBC.
同理,∠YXO=∠BDC.
∴△OXY∽△CBD
∴XY/BD=OX/CD
过C作OX平行线,交AP延长线于E.
∵∠APB=2∠DPC.
∴∠EPC=∠CPD.
∵O为AC中点,O平行于CE.
∴OE平行等于2OX.
∴∠E=∠AXO=∠BDC.
又OP=OP
∴△CPE≌△CPD.
∴XY/BD=OX/CD=OX/CE=1/2
证毕.
几何图像网址:https://www.desmos.com/geometry-beta/hqjtcvbkvh?lang=zh-CN
(图画起来有点烦)
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